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A Identidade de Euler e as Equações Cúbicas

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Leonhard Euler (1708-1783) foi um grande matemático suíço que fez grandes descobertas em várias áreas da Matemática. Através da identidade [;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta;] ele apresentou um método, semelhante ao método de Viéte para achar as três raízes de uma equação cúbica.

Toda equação do terceiro grau completa, pode ser transformada em um nova equação que possui as mesmas raízes, mas sem o termo quadrático.  Assim, iniciamos nossos estudos com a equação
[;x^3 + Px - Q = 0 \qquad (1);]

A técnica para resolver esta equação foi desenvolvida por Tartaglia e publicada por Girolamo Cardano em sua obra Ars Magna em 1545. 

Cardano reescreveu a equação [;(1);] na forma [;x^3 + Px = Q;]. Em seguida, da identidade algébrica:
[;(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;]
segue que 
[;(a - b)^3 + 3ab(a - b) = a^3 - b^3;]
Fazendo [;x = a - b;], temos: 
[;x^3 + 3abx = a^3 - b^3;]
Assim, para resolver a equação [;(1);], temos que achar as soluções do sistema de equações nas variáveis [;a;] e [;b;]: 
De (2i), segue que [;a = P/3b;]. Substituindo em (2ii), temos:
[;\biggl(\frac{P}{3b}\biggr)^3 - b^3 = Q \quad (\ast) \Rightarrow;]
 [;\biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3 - (b^3)^2 = Qb^3 \quad \Rightarrow;]
[;(b^3)^2 + Qb^3 - \biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3 = 0;] 
Assim,
[;b^3 = \frac{-Q \pm \sqrt{\Delta}}{2} \qquad (3);]
onde 
[;\Delta = Q^2 - 4\cdot 1\cdot \bigl(\frac{P}{3}\bigr)^3;]
Note que 

[;\frac{\Delta}{4} = \biggl(\frac{Q}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3:=D;]
onde [;D;] é o discriminante da equação cúbica. Em termos de  [;D;], podemos reescrever [;(3);] na forma:

[;b^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D} \qquad (4);]
Agora existem três soluções possíveis para a equação [;(3);]. Para achá-las, Euler usou a relação 

[;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta;]
para definir o número complexo [;\omega;] dado por:

[;\omega:= e^{2\pi i/3} = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3};]
Note que 

[;\omega^3 = (e^{2\pi i/3})^3 = e^{2\pi i} = 1;]
e que [;(\omega^3)^2 = 1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (\omega^2)^3 = 1;]. Assim, [;1;], [;\omega;] e [;\omega^2;] são as raízes cúbicas de [;1;].
Usando [;\omega;], podemos ver que qualquer número real [;p;] possui três raízes cúbicas dadas por [;\sqrt[3]{p};], [;\sqrt[3]{p}\ \omega;] e [;\sqrt[3]{p}\ \omega^2;]. De fato, 
[;(\sqrt[3]{p})^3 = p;]
[;(\sqrt[3]{p}\ \omega)^3 = p\omega^3 = p;]
[;(\sqrt[3]{p}\ \omega^2)^3 = p(\omega^3)^2 = p\cdot 1^2 = p;]
Assim, dada uma raiz cúbica (real ou complexa) [;\beta;], as demais raízes são [;\omega \beta;] e [;\omega^2\beta;]. Usaremos essas ideias para achar as soluções da equação [;(4);]. 

 Para isso, seja [;\beta;] uma raiz cúbica de [;-Q/2 \pm \sqrt{D};]. As outras raízes da equação [;(4);] são [;\omega \beta;] e [;\omega^2\beta;]. Cada solução da equação [;(4);] dá um valor para [;a;] tal que [;ab = P/3;]. Desse modo, seja [;\alpha;] tal que 

[;\alpha \beta = \frac{P}{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{P}{3\beta};]
Note que 

[;\beta^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D};]
Assim, usando [;(\ast);], temos:

[;\alpha^3 - \beta^3 = \biggl(\frac{P}{3\beta}\biggr)^3 - \beta^3 = Q;]
de modo que [;\alpha - \beta;] é uma raiz da equação cúbica [;x^3 + Px = Q;]. Além disso, note que

[;\alpha\omega^2\cdot \beta \omega = \alpha\beta \omega^3 = \alpha \beta = \frac{P}{3};]
e

[;(\alpha\omega^2)^3 - (\beta\omega)^3 = \alpha^3(\omega^3)^2 - \beta^3\omega^3 = \alpha^3 - \beta^3 = Q;]
 Assim, [;\alpha\omega^2 - \beta\omega;] também é uma raiz da equação  [;x^3 + Px = Q;]. Analogamente, 

de modo que [;\alpha\omega - \beta\omega^2;] também é uma raiz da equação [;(1);]. Logo, 

[;\{\alpha - \beta, \alpha\omega^2 - \beta\omega, \alpha\omega - \beta\omega^2\};]
é o conjunto solução de [;(1);].

 Exemplo 1: (Euler) Ache as raízes da equação [;x^3 - 6x = 4;].
Resolução: Aqui [;P = -6;] e [;Q = 4;], de modo que

Portanto, 
[;b^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D} = -\frac{4}{2} \pm 2i = -2\pm 2i;]
Em seguida, escolhemos adequadamente o sinal da expressão acima, ou seja, 
[;b^3 = -2 + 2i = 2(-1 + i) = 2\sqrt{2}\biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\biggr);]
 [;= \sqrt{8}e^{3\pi i/4} \quad \Rightarrow \beta = \sqrt[3]{\sqrt{8}}e^{\pi i/4} = \sqrt{2}e^{\pi i/4} = 1 + i;]

Consequentemente, 

Então, [;x = \alpha - \beta = (-1 + i) - (1 + i) \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2;] é uma solução da equação cúbica. As outras raízes são:

[;= 2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12};]

e

Observação: Da identidade trigonométrica

[;\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2};]
segue que 

[;\cos^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{1 + \cos 7\pi/6}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2};]
de modo que 

[;\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2};]
FOnte: FactosMatemáticos

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