Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos

sendo
Existem vários modos de resolver este tipo de limite conforme o grau dos polinômios
e
.
Por exemplo, se o grau destes polinômios são iguais a dois, podemos
fatorá-los várias técnicas para eliminar a indeterminação matemática.
Mas um procedimento padrão é o seguinte:
Sendo
uma raiz comum de
e
, então esses polinômios são divisíveis pelo binômio
. Assim, calculamos pelo método da chave ou Briot-Ruffini os polinômios
Se
é uma raiz simples, a indeterminação matemática é eliminada. Caso
contrário, repetimos novamente o processo anterior. Para esclarecer
melhor estas ideias vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:
a)
b)
c)
Resolução: Observe que todos esses limites possuem
como indeterminação matemática.
a) Neste caso, basta usar a diferença de dois quadrados no numerador para obter
Assim,
b) Para este limite, dividimos o numerador e o denominar pelo binômio
, ou seja,
c)
Este limite pode ser resolvido de forma semelhante ao item anterior,
mas lendo com calma, percebe-se que o numerador e do denominador são
produtos notáveis. O numerador é a diferença de dois cubos cuja a
expressão geral é dada por
e o denominador é a diferença de dois quadrados, ou seja,
Logo,
Vejamos
agora como resolver os limites irracionais algébricos, ou seja,
limites em que o numerador ou denominador da fração apresenta pelo
menos uma raiz de uma expressão algébrica. Neste caso, temos as
técnicas: Fatoração, racionalização ou mudança de variável para
transformar o limite em um limite algébrico. É claro que haverá limites
que admite o uso de mais de um método.
Exemplo 2: Use a técnica de fatoração e resolva o limite abaixo:
Resolução: Observe que
pode ser fatorado usando diferença de dois quadrados do seguinte modo:
Exemplo 3: Use racionalização e resolva o limite abaixo:
Resolução: Neste caso, sendo
, multiplicamos o numerador e o denominador da expressão por
e usamos o fato que
Exemplo 4: Use mudança de variáveis e resolva o limite abaixo:
Resolução: Para este limite façamos
, de modo que
e
.
Por outro lado, toda vez que fazemos mudança de variável em um limite,
devemos achar o valor para o qual a nova variável irá tender. Observe
que se
, então
. Assim,
Note que neste último limite, ainda temos a indeterminação matemática
. Assim, fazemos novamente uma mudança de variáveis,
. Com essa mudança, note que se
, de modo que
Exercícios Propostos: Use as técnicas acima e resolva os limites:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Via: Factos Matemáticos
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